Matematika Asyik

Soal No. 37

Diketahui: panjang sisi segi-6 = 6 cm, AD = 12 cm; GF = 10 cm ; AG = 10 cm.
Ditanya: Luas permukaan prisma

Langkah pertama: menghitung luas alas.
Alas prisma berbentuk segi enam beraturan. Apabila alas dibagi menurut ruas garis AD maka alas menjadi dua buah trapesium yang kongruen (sama ukuran). Untuk itu kita hitung dulu luas satu buah trapesium kemudian luas alas prisma.

$L_{trapesium}=\frac{sisi\, atas+sisi\, bawah}{2}\times tinggi$
$L=\frac{EF+AD}{2}\times \left ( \frac{1}{2}BF \right )$
$L=\frac{6+12}{2}\times \left ( \frac{1}{2}.10 \right )$
$L=\frac{18}{2}\times 5$
$L=45$

Luas alas prisma (segi-6) adalah dua kali luas trapesium ADEF. Jadi luas alas adalah 90 cm². Luas tutup prisma sama dengan luas alas prisma yaitu 90 cm².

Langkah kedua: menghitung luas sisi tegak (dinding prisma)
Dinding prisma berbentuk persegi panjang dengan panjang 10 cm dan lebar 6 cm sehingga luas satu sisi tegak prisma adalah 60 cm². Ada enam buah sisi tegak prisma sehingga luas seluruh sisi tegak adalah 6 x 60 cm² = 360 cm².
Atau jika menggunakan rumus luas:

$L=2\times Luas\, alas+jumlah \, luas\, sisi\, tegak$
$L=2\times 90+6\times 60$
$L=180+360$
$L=540$

Jadi luas permukaan prisma adalah 540 cm².

Soal No. 19

Soal no, 19 berkenaan dengan luas layang-layang (atau tepatnya layang-layang garis singgung lingkaran). Untuk menghitung luas layang layang tersebut dapat digunakan dua rumus berikut:

$L=Luas\Delta BAO+Luas\Delta BCO =2\times Luas \Delta BAO$

karena layang-layang terdiri atas dua buah segitiga yang sama ukuran dan bentuknya.
Atau dengan rumus:

$L=\frac{1}{2}\times d_{1}\times d_{2}$

Langkah pertama: menghitung panjang BO
Panjang BO dapat dihitung dengan menggunakan:
a. tripel Pythagoras
Karena segitiga BAO adalah segitiga siku-siku (garis singgung lingkaran BA selalu membentuk sudut 90° derajat dengan jari-jari OA) maka panjang BA, OA, dan BO adalah tripel Pythagoras. 9, 12, dan 5. sehingga BO = 5 cm
b. dengan rumus Pythagoras
c² = a² + b²
Langkah kedua: menghitung luas segitiga BAO

$L\Delta BAO=\frac{1}{2}\times alas \times tinggi$
$L\Delta BAO=\frac{1}{2}\times 9 \times 12$
$L\Delta BAO=54$

Langkah ketiga: menghitung luas layang-layang
$L=2\times L\Delta BAO$
$L=2\times 54$
$L=108$

Langkah keempat: menghitung panjang tali busur AC dengan menggunakan rumus luas layang-layang yang kedua dan informasi luas layang-layang dari langkah ketiga.

$L=\frac{1}{2}\times d_{1}\times d_{2}$
$L=\frac{1}{2}\times BO \times AC$
$108=\frac{1}{2}\times 15 \times AC$
$108\times 2=15\times AC$
$216=15\times AC$
$15\times AC=216$
$AC=\frac{216}{15}$
$AC=14,4$

Jadi panjang AC adalah 14,4 cm

Soal No. 20

Diketahui d = 24 cm; p = 26 cm; R = 6 cm. Ditanya perbandingan luas kedua lingkaran.
Langkah pertama: menghitung panjang jari-jari lingkaran kedua (r)

$d=\sqrt{p^{2}-\left ( R+r \right )^{2}}$
$d^{2}=p^{2}-\left ( R+r \right )^{2}$
$24^{2}=26^{2}-\left ( 6+r \right )^{2}$
$576=676-\left ( 6+r \right )^{2}$
$\left ( 6+r \right )^{2}=676-576$
$\left ( 6+r \right )^{2}=100$
$6+r=\sqrt{100}$
$6+r=10$
$r=10-6$
$r=4$

Langkah kedua: menghitung perbandingan luas segitiga

$\frac{Luas\, lingkaran\, I}{Luas\, Lingkaran\, II}=\frac{\pi R^{2}}{\pi r^{2}}$
$\frac{Luas\, lingkaran\, I}{Luas\, Lingkaran\, II}=\frac{R^{2}}{r^{2}}$
$\frac{Luas\, lingkaran\, I}{Luas\, Lingkaran\, II}=\frac{6^{2}}{4^{2}}$
$\frac{Luas\, lingkaran\, I}{Luas\, Lingkaran\, II}=\frac{6\times 6}{4\times 4}$
$\frac{Luas\, lingkaran\, I}{Luas\, Lingkaran\, II}=\frac{2\times 3\times 2\times 3}{2\times 2\times 2\times 2}$
$\frac{Luas\, lingkaran\, I}{Luas\, Lingkaran\, II}=\frac{3\times 3}{2\times 2}$
$\frac{Luas\, lingkaran\, I}{Luas\, Lingkaran\, II}=\frac{9}{4}$

Jadi perbadingan luas lingkaran I dan II adalah 9 : 4.

Soal No. 18

Diketahui R = 12 cm; r = 6 cm; dan d = 24 cm. Ditanya jarak antara dua titik pusat (p).

$d=\sqrt{p^{2}-\left ( R+r \right )^{2}}$
$d^{2}=p^{2}-\left ( R+r \right )^{2}$
$24^{2}=p^{2}-\left ( 12+6 \right )^{2}$
$576=p^{2}-\left ( 18 \right )^{2}$
$576=p^{2}-324$
$p^{2}=576+324$
$p^{2}=900$
$p=\sqrt{900}$
$p=30$

Jadi jarak antara dua titik pusat adalah 30 cm.
Atau dengan menggunakan tripel Pythagoras, 12 + 6 = 18, 24, dan 30.

Senin, 10 Juni 2013

Soal No. 37

Soal No. 19

Soal No. 20

Soal No. 18